Sufficient Conditions for the Controllability of Wave Equations with a Transmission Condition at the Interface

We consider waves travelling in two different mediums each endowed with a different constant speed of propagation. At the interface between the two mediums, the refraction of the rays of the optic geometry is described by the Snell-Descartes law. We provide sufficient conditions on the geometry of the mediums and on the speed of propagation for the boundary controllability.Comment: 28 pages, 30 figure

Ground state solitary waves local controllability for the nonlinear focusing Schrödinger equation in the mass critical and slighlty mass subcritical regime

In this paper, we prove the exact local controllability around different ground state solitary wave for the slightly subcritical mass and mass critical nonlinear Schrödinger equation. More precisely, if Q c1 and Q c2 denotes the ground states with two different scaling, we prove the exact local controllability from Q c1 to Q c2 in a minimal time depending on c 1 and c 2. The results presented relies on the blow-up profile in the mass slightly supercritical case and mass critical case

Méthode de Legendre-Galerkin appliquée au contrôle de l'équation des ondes. Filtrage des hautes fréquences

Le présent travail sera consacré à l'étude de la contrôlabilité et l'observabilité de l'équation des ondes ainsi qu'à l'obtention de l'observabilité uniforme du système observable discrétisé. Dans un premier temps, les notions de bases ainsi que les résultats importants sur l'observabilité et la contrôlabilité de l'équation des ondes seront donnés pour l'équation des ondes aux conditions limites de Dirichlet. Par la suite, nous étudierons la semi-discrétisation du système observable par la méthode spectrale de Legendre-Galerkin. Finalement, nous tenterons d'obtenir une observabilité uniforme par rapport à la dimension de l'espace d'approximation par une méthode de filtre sur cet espace

Spectral inequality for an Oseen operator in a two dimensional channel

We prove a Lebeau-Robbiano spectral inequality for the Oseen operator in a two dimensional channel, that is, the linearized Navier-Stokes operator around a laminar flow, with no-slip boundary conditions. The operator being non-self-adjoint, we place ourself into the abstract setting of [12], and prove the spectral inequaltiy through the derivation of a proper Carleman estimate. In the spirit of [4], we handle the vorticity near the boundary by using the characteristics sets of $P_ϕ$ or $Q_{ϕ0}$ in the different microlocal regions of the cotangent space. As a consequence of the spectral inequality, we derive a new estimate of the cost of the control for the small-time null-controllability

Control and exponential stability for a transmission problem of a viscoelastic wave equation

In this article, we consider the energy decay of a viscoelastic wave in an heterogeneous medium. To be more specific, the medium is composed of two different homogeneous medium with a memory term located in one of the medium. We prove exponential decay of the energy of the solution under geometrical and analytical hypothesis on the memory term

A Fredholm transformation for the rapid stabilization of a degenerate parabolic equation

This paper deals with the rapid stabilization of a degenerate parabolic equation with a right Dirich-let control. Our strategy consists in applying a backstepping strategy, which seeks to find an invertible transformation mapping the degenerate parabolic equation to stabilize into an exponentially stable system whose decay rate is known and as large as we desire. The transformation under consideration in this paper is Fredholm. It involves a kernel solving itself another PDE, at least formally. The main goal of the paper is to prove that the Fredholm transformation is well-defined, continuous and invertible in the natural energy space. It allows us to deduce the rapid stabilization

Control and exponential stability for a transmission problem of a viscoelastic wave equation

In this article, we consider the energy decay of a viscoelastic wave in an heterogeneous medium. To be more specific, the medium is composed of two different homogeneous medium with a memory term located in one of the medium. We prove exponential decay of the energy of the solution under geometrical and analytical hypothesis on the memory term

Etude de l'équation de Korteweg-de Vries en variables lagrangiennes et sa contrôlabilité, stabilisation rapide d'une équation de Schrödinger et méthodes spectrales pour le calcul du contrôle optimal

This thesis is devoted to the Lagrangian controllability and the analysis of the particle trajectories for the Korteweg-de Vries equation, to the rapid stabilization problem of the bilinear Schrödinger equation and to the convergence of the numerical controls of the wave equation. In the first part, we prove that the N-solitons solution of the Korteweg-de Vries equation allows one to move the particles outside an arbitrarily long domain in an arbitrarily small time. A higher approximation of the velocity field associated to the N-soliton is also presented, allowing to recover a typical property of solitary waves: the higher the particle is located in the fluid, the greater its displacement. These results are of a nonlinear nature since there exists no linear approximation of solitons. In the second part, inspired by the backstepping method, the rapid stabilization of a linearized Schrödinger equation is obtained. The proof consists to prove the invertibility of a transformation mapping the equation to stabilize to a stable linearized Schrödinger equation. The key ingredient of this proof is the introduction of a uniqueness condition. In the last part, a spectral filter, a mixed method and the Nitsche's method are proposed as a remedy to the lack of uniformness of the discrete observability constant for the Legendre-Galerkin semi-discretization of the wave equation. A numerical study of the convergence of the numerical controls is also presented.Cette thèse est consacrée la contrôlabilité lagrangienne, l'étude du champ de vitesse de l'Équation de Korteweg-de Vries, le problème de stabilisation rapide d'une équation aux dérivées partielles linéaires et aux méthodes numériques permettant d'obtenir la convergence des contrôles numériques vers les contrôles optimaux. Dans la première partie, on montre, l'aide de la solution de N-solitons de l'équation de Korteweg-de Vries, qu'il est possible de faire sortir des particules du fluide l’extérieur d'un domaine déterminé en temps arbitrairement petit. Une meilleure approximation du champ de vitesse associée la solution de N-solitons est également présentée, permettant de retrouver en particulier une propriété typique des trajectoires des particules soumises des ondes solitaires : les particules situées plus haut dans le fluide ont un plus grand déplacement. Dans la deuxième partie, la stabilisation rapide d'une équation de Schrödinger est obtenue grâce une méthode inspirée du backstepping en dimension infinie. Une équation de Schrödinger stable est considérée comme l'image d'une transformation ayant comme domaine de définition les solutions de l'équation de Schrödinger stabilisé. La stabilisation de l'équation de Schrödinger est obtenue en montrant l'inversibilité de la transformation. La nouveauté du travail présentée est l'introduction d'une condition d’unicité sur la transformation. Finalement, un filtre spectral, une formulation mixte et une formulation de Nitsche sont proposées comme technique afin d'obtenir numériquement l’observabilité uniforme de l'équation des ondes semi-discrétisée avec une méthode spectrale de Legendre-Galerkin. Une étude numérique de la convergence des contrôles numériques sans l’admissibilité uniforme de l’opérateur de contrôle est également présentée

Sufficient conditions for the controllability of wave equations with a transmission condition at the interface

We consider waves travelling in two different mediums each endowed with a different constant speed of propagation. At the interface between the two mediums, the refraction of the rays of the optic geometry obeys the Snell’s law. We provide sufficient conditions on the geometry’ of the mediums and on the speed of propagation for the exact boundary controllability

Study of the Korteweg-de Vries equation in Lagrangian coordinates and its controllability, rapid stabilization of a Schrödinger equation and spectral methods for the numerical computation of the optimal control

Cette thèse est consacrée la contrôlabilité lagrangienne, l'étude du champ de vitesse de l'Équation de Korteweg-de Vries, le problème de stabilisation rapide d'une équation aux dérivées partielles linéaires et aux méthodes numériques permettant d'obtenir la convergence des contrôles numériques vers les contrôles optimaux. Dans la première partie, on montre, l'aide de la solution de N-solitons de l'équation de Korteweg-de Vries, qu'il est possible de faire sortir des particules du fluide l’extérieur d'un domaine déterminé en temps arbitrairement petit. Une meilleure approximation du champ de vitesse associée la solution de N-solitons est également présentée, permettant de retrouver en particulier une propriété typique des trajectoires des particules soumises des ondes solitaires : les particules situées plus haut dans le fluide ont un plus grand déplacement. Dans la deuxième partie, la stabilisation rapide d'une équation de Schrödinger est obtenue grâce une méthode inspirée du backstepping en dimension infinie. Une équation de Schrödinger stable est considérée comme l'image d'une transformation ayant comme domaine de définition les solutions de l'équation de Schrödinger stabilisé. La stabilisation de l'équation de Schrödinger est obtenue en montrant l'inversibilité de la transformation. La nouveauté du travail présentée est l'introduction d'une condition d’unicité sur la transformation. Finalement, un filtre spectral, une formulation mixte et une formulation de Nitsche sont proposées comme technique afin d'obtenir numériquement l’observabilité uniforme de l'équation des ondes semi-discrétisée avec une méthode spectrale de Legendre-Galerkin. Une étude numérique de la convergence des contrôles numériques sans l’admissibilité uniforme de l’opérateur de contrôle est également présentée.This thesis is devoted to the Lagrangian controllability and the analysis of the particle trajectories for the Korteweg-de Vries equation, to the rapid stabilization problem of the bilinear Schrödinger equation and to the convergence of the numerical controls of the wave equation. In the first part, we prove that the N-solitons solution of the Korteweg-de Vries equation allows one to move the particles outside an arbitrarily long domain in an arbitrarily small time. A higher approximation of the velocity field associated to the N-soliton is also presented, allowing to recover a typical property of solitary waves: the higher the particle is located in the fluid, the greater its displacement. These results are of a nonlinear nature since there exists no linear approximation of solitons. In the second part, inspired by the backstepping method, the rapid stabilization of a linearized Schrödinger equation is obtained. The proof consists to prove the invertibility of a transformation mapping the equation to stabilize to a stable linearized Schrödinger equation. The key ingredient of this proof is the introduction of a uniqueness condition. In the last part, a spectral filter, a mixed method and the Nitsche's method are proposed as a remedy to the lack of uniformness of the discrete observability constant for the Legendre-Galerkin semi-discretization of the wave equation. A numerical study of the convergence of the numerical controls is also presented